Operaciones con matrices, con resultados exactos
Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas. Las matrices se usan en álgebra lineal, sistemas de ecuaciones, gráficos por computadora, estadística y muchas áreas de la ingeniería y la economía. Operar con ellas a mano es laborioso y propenso a errores, sobre todo cuando aparecen fracciones.
Esta calculadora resuelve las operaciones más comunes con matrices y lo hace con aritmética exacta: internamente trabaja con fracciones (números racionales), no con decimales aproximados. Eso significa que 1/3 se mantiene como 1/3 y no como 0.3333…, y que el determinante o la inversa que obtienes son matemáticamente exactos. Si necesitas una vista decimal, puedes activarla; esos valores aparecen claramente marcados como redondeados.
Qué puedes calcular
- Suma y resta de dos matrices del mismo tamaño.
- Multiplicación de matrices (cuando las columnas de A igualan las filas de B).
- Producto de una matriz por un escalar.
- Transpuesta: intercambia filas por columnas.
- Determinante de una matriz cuadrada.
- Inversa de una matriz cuadrada (solo si su determinante no es cero).
- Rango: el número de filas o columnas linealmente independientes.
El determinante y por qué importa
El determinante es un número que se asocia a toda matriz cuadrada y resume información clave sobre ella. Para una matriz 2×2 [[a, b], [c, d]], el determinante es a·d − b·c. Por ejemplo, el determinante de [[1, 2], [3, 4]] es 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2.
El determinante indica, entre otras cosas, si una matriz tiene inversa: si el determinante es cero, la matriz es singular y no se puede invertir. La calculadora usa este criterio de forma exacta, por lo que nunca te dará una «inversa» de una matriz singular; en su lugar te avisa que el determinante es cero.
La inversa de una matriz
La inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz, escrita A⁻¹, tal que al multiplicarlas se obtiene la matriz identidad (unos en la diagonal y ceros en el resto). La inversa es fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma A·x = b, ya que x = A⁻¹·b.
No toda matriz cuadrada tiene inversa: solo existe cuando el determinante es distinto de cero. La calculadora obtiene la inversa por el método de Gauss-Jordan con fracciones exactas, así que el resultado es preciso y, al multiplicar A por su inversa, obtienes exactamente la identidad. Si la matriz es singular o no es cuadrada, te lo indica con claridad.
El rango de una matriz
El rango es el número máximo de filas (o de columnas) linealmente independientes de una matriz. Dicho de otro modo, cuántas filas aportan información realmente nueva y no son combinación de las demás. El rango de una sola matriz, por sí solo, no dice si un sistema tiene solución única, infinitas o ninguna.
Para un sistema Ax=b se compara el rango de la matriz de coeficientes A con el rango de la matriz aumentada [A|b]. Si ambos rangos son iguales al número de incógnitas, existe una solución única. Si son iguales pero menores que el número de incógnitas, existen infinitas soluciones. Si los rangos son distintos, el sistema no tiene solución.
Esta calculadora obtiene el rango por reducción por renglones (escalonando la matriz) y contando los pivotes distintos de cero. Como el cálculo es exacto con fracciones, la comparación con cero no depende de una tolerancia numérica arbitraria: un pivote es cero exactamente cuando su numerador es cero. Por eso el rango que obtienes es fiable incluso en matrices casi singulares que confunden a las calculadoras que usan decimales.
Seis ejemplos resueltos de matrices
Multiplicación 2×3 por 3×2. Sea A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] (2 filas, 3 columnas) y B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]] (3 filas, 2 columnas). Como las columnas de A (3) igualan las filas de B (3), el producto existe y es una matriz 2×2. Cada elemento suma los productos de una fila de A por una columna de B: c₁₁ = 1·7 + 2·9 + 3·11 = 58; c₁₂ = 1·8 + 2·10 + 3·12 = 64; c₂₁ = 4·7 + 5·9 + 6·11 = 139; c₂₂ = 4·8 + 5·10 + 6·12 = 154. El resultado es [[58, 64], [139, 154]].
Determinante 2×2. Para A = [[3, 8], [4, 6]], el determinante es a·d − b·c = 3·6 − 8·4 = 18 − 32 = −14. Un determinante distinto de cero indica que la matriz tiene inversa.
Determinante 3×3. Para A = [[2, 1, 3], [0, 4, 5], [1, 0, 6]], se desarrolla por la primera fila: 2·(4·6 − 5·0) − 1·(0·6 − 5·1) + 3·(0·0 − 4·1) = 2·24 − 1·(−5) + 3·(−4) = 48 + 5 − 12 = 41.
Matriz inversa 2×2. Para A = [[4, 7], [2, 6]], primero el determinante: 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10. La inversa es (1/10)·[[6, −7], [−2, 4]] = [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]]. Si multiplicas A por esta inversa obtienes exactamente la matriz identidad.
Rango mediante reducción por filas. Para A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]], resta 2·(fila 1) a la fila 2 y obtienes [0, 0, 0]; resta la fila 1 a la fila 3 y obtienes [0, −1, −2]. Quedan dos filas distintas de cero ([1, 2, 3] y [0, −1, −2]), así que el rango es 2: la segunda fila original era el doble de la primera y no aportaba información nueva.
Tamaños incompatibles. Si intentas multiplicar A de tamaño 2×3 por B de tamaño 2×2, la operación no está definida: para multiplicar A × B, el número de columnas de A (3) debe ser igual al número de filas de B (2), y 3 ≠ 2. La calculadora detecta este caso y te lo explica en lugar de dar un resultado incorrecto.
Cómo usar la calculadora de matrices
- Elige la operación que quieres realizar.
- Ajusta el número de filas y columnas de la matriz A (y de B si la operación lo requiere).
- Escribe cada valor: puede ser entero, decimal (1.5) o fracción (3/4).
- Para el producto por escalar, escribe el valor de k.
- Lee el resultado en fracciones exactas, o activa la vista de decimales redondeados.
- Abre «Ver procedimiento» para seguir la aritmética paso a paso (determinante 2×2 y 3×3, cada celda de la multiplicación y la inversa 2×2 por la adjunta).
- Copia el resultado, descárgalo en CSV o usa «Intercambiar A y B» cuando lo necesites.
- Si aparece un aviso, revísalo: puede indicar tamaños incompatibles o una matriz singular.