Qué es una derivada y qué calcula esta herramienta
La derivada de una función mide su razón de cambio: qué tan rápido cambia el valor de la función cuando cambia la variable. Geométricamente, la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Es uno de los conceptos centrales del cálculo y aparece en física, economía, ingeniería y estadística.
Esta calculadora obtiene la derivada simbólica respecto a x: te devuelve otra función, no solo un número. Escribes f(x) y la herramienta te muestra la función interpretada (para que confirmes que entendió lo que escribiste), la derivada simplificada y las reglas de derivación que se aplicaron (potencia, producto, cociente, cadena, etcétera). Además puedes calcular la segunda derivada y evaluar el resultado en un valor concreto de x.
Qué notación puedes escribir
La calculadora entiende la forma en que se escriben las funciones en la escuela y en la universidad, no solo una sintaxis rígida. Reconoce potencias con el símbolo ^ (x^2) y también superíndices (x²), la raíz cuadrada como sqrt(x) o √x, el seno como sin(x) o sen(x), y distingue el logaritmo natural del de base 10.
- Potencias: x^2 o x² (equivalentes).
- Raíz: sqrt(x) o √x.
- Trigonométricas: sin/sen, cos, tan, y sus inversas asin, acos, atan.
- Exponencial: e^x o exp(x).
- Logaritmos: ln(x) es el natural; log(x) se interpreta como logaritmo de base 10 (log₁₀).
- Multiplicación implícita: 2x, x(x+1) o 2sin(x) se entienden como productos.
Logaritmo natural vs. logaritmo de base 10
Una fuente frecuente de confusión es el logaritmo. En esta calculadora, ln(x) es el logaritmo natural (base e) y su derivada es 1/x. En cambio, log(x) se interpreta como el logaritmo de base 10, y su derivada es 1/(x·ln 10). Si quieres el natural, escribe ln; si quieres el de base 10, escribe log o log10.
Esta distinción importa porque cambia el resultado. Mantener la notación clara evita errores comunes al derivar funciones logarítmicas, sobre todo cuando se combinan con la regla de la cadena.
Las reglas de derivación que aplica
- Regla de la potencia: la derivada de xⁿ es n·xⁿ⁻¹.
- Suma y resta: la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
- Regla del producto: (u·v)′ = u′·v + u·v′.
- Regla del cociente: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
- Regla de la cadena: la derivada de f(g(x)) es f′(g(x))·g′(x).
- Derivadas conocidas: sin′ = cos, cos′ = −sin, (e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1/x, entre otras.
Tabla de derivadas comunes
Estas son las derivadas básicas que conviene memorizar. La calculadora las aplica automáticamente, combinándolas con las reglas del producto, el cociente y la cadena.
| Función f(x) | Derivada f′(x) |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln(a) |
| ln(x) | 1 / x |
| log₁₀(x) | 1 / (x·ln 10) |
| sen(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sen(x) |
| tan(x) | sec²(x) |
Ocho ejemplos resueltos de derivadas
1. Polinomio. f(x) = x³ + 3x² − 5x + 2. Se deriva término a término con la regla de la potencia: f′(x) = 3x² + 6x − 5.
2. Regla del producto. f(x) = x²·sen(x). Con (u·v)′ = u′·v + u·v′: f′(x) = 2x·sen(x) + x²·cos(x).
3. Regla del cociente. f(x) = x / (x² + 1). Con (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v²: f′(x) = [(x² + 1) − x·(2x)] / (x² + 1)² = (1 − x²) / (x² + 1)².
4. Regla de la cadena. f(x) = (2x + 1)³. Se deriva la potencia y se multiplica por la derivada del interior: f′(x) = 3·(2x + 1)²·2 = 6·(2x + 1)².
5. Trigonométrica con cadena. f(x) = sen(x²). f′(x) = cos(x²)·2x = 2x·cos(x²).
6. Exponencial. f(x) = e^(3x). f′(x) = e^(3x)·3 = 3·e^(3x).
7. Logaritmo natural. f(x) = ln(x² + 1). f′(x) = (2x) / (x² + 1).
8. Raíz cuadrada. f(x) = √x = x^(1/2). f′(x) = (1/2)·x^(−1/2) = 1 / (2√x).
Segunda derivada: qué es y cómo se calcula
La segunda derivada, escrita f″(x), es simplemente la derivada de la primera derivada. Se usa para estudiar la concavidad de una curva (si abre hacia arriba o hacia abajo) y para encontrar puntos de inflexión; en física, si la primera derivada de la posición es la velocidad, la segunda es la aceleración.
Por ejemplo, si f(x) = x³, entonces f′(x) = 3x² y f″(x) = 6x. En la calculadora puedes elegir entre «Primera derivada» y «Segunda derivada»: al seleccionar la segunda, la herramienta deriva dos veces y simplifica el resultado.
Cómo usar la calculadora de derivadas
- Escribe tu función usando x como variable (por ejemplo, x^2 + 3x).
- Elige si quieres la primera o la segunda derivada.
- Revisa la línea «Interpretado como» para confirmar que se entendió tu expresión.
- Lee la derivada simplificada y las reglas utilizadas que aparecen debajo.
- Si quieres, escribe un valor en «Evaluar la derivada en un punto» para obtener la pendiente ahí.
- Usa los ejemplos de un toque para explorar distintos tipos de función.